Data: 19/10/20 - Professora: Diolina Pereira Rosa - Disciplina: Matemática - Conteúdo: Polígonos
Bom Dia! Bons Estudos !
Elementos de um polígono
Polígono é a figura plana e fechada formada pela união de um número finito de segmentos de retas. Assim, considere um polígono qualquer:
Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do polígono e são formados pelo encontros dos segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA, chamados lados do polígono.
Os segmentos AF, AE, AD e BG são as diagonais do polígono. (Perceba que esses são alguns exemplos de diagonais, no polígono anterior temos mais dessas.) Diagonais são segmentos de retas que “ligam” os vértices do polígono.
Podemos nomear os polígonos de acordo com seu número de lados. Veja na tabela a seguir o nome dos principais polígonos.
Número de lados (n) | Nomenclatura |
3 | Triângulo |
4 | Quadrilátero |
5 | Pentágono |
6 | Hexágono |
7 | Heptágono |
8 | Octógono |
9 | Eneágono |
10 | Decágono |
11 | Undecágono |
12 | Dodecágono |
15 | Pentadecágono |
20 | Icoságono |
Note que não é necessário decorar a tabela e sim entendê-la. Com exceção do triângulo e do quadrilátero, a formação da palavra é:
Número de lados + gono
Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono.
Exemplo
Determine o nome do polígono a seguir:
Classificação dos polígonos
Os polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos lados iguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos ângulos iguais.
Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular.
Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, ou seja, a circunferência que está “dentro” da circunferência.
Soma dos ângulos internos de um polígono
Seja ai um ângulo interno de um polígono regular de n lados, representaremos a soma desses ângulos internos por Si.
Assim, a soma dos ângulos internos é dada por:
Si = (n - 2) · 180°
Para calcular o valor de cada ângulo interno, basta pegar o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados, ou seja:
ai = Si
n
Exemplo 1
Determine a soma dos ângulos internos e, em seguida, a medida de cada ângulo interno de um icoságono.
Sabemos que um icoságono possui vinte lados, logo, n = 20. Substituindo nas relações, temos:
Si = (n - 2) · 180°
Si = (20 - 2) · 180°
Si = 18 · 180°
Si = 3240°
Agora, para determinar o valor de cada ângulo interno, basta dividir o valor encontrado pelo número de lados:
ai = 3240°
20
ai = 162°
Exemplo 2
A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 720°, determine o polígono.
Substituindo a informação do enunciado na fórmula, temos:
720° = (n - 2) · 180°
720° = 180n – 360°
180n = 720° + 360°
180n = 1080°
n = 1080°
180°
n = 6 lados
Assim, o polígono procurado é o hexágono.
Soma dos ângulos externos de um polígono
A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360°.
Se = 360°
ae = Se
n
ae = 360°
n
Diagonais dos polígonos
Considere um polígono de n lados. Para determinar o número de diagonais (d), utilizamos a seguinte relação:
d = n · (n - 3)
2
Exemplo
Determine o número de diagonais de um pentágono e represente-as graficamente.
Sabemos que um pentágono possui cinco lados, assim, n = 5. Substituindo na expressão, temos que:
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
Área e perímetro dos polígonos
O perímetro de polígonos é definido pela soma de todos os lados. A área de um polígono é calculada a partir da divisão do polígono em figuras cujo cálculo da área é mais fácil, como o triângulo e o quadrado.
AΔ = base · altura
2
Aquadrado = base · altura
Exemplo
Determine uma expressão matemática que represente a área de um hexágono regular.
Solução:
Inicialmente, considere um hexágono regular e todos os segmentos de retas que liguem o centro do polígono a cada vértice. Assim:
Perceba que, devido ao fato do hexágono ser regular, ao dividi-lo, encontramos seis triângulos equiláteros, logo, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero, ou seja:
Ahexágono = 6 · AΔ
Ahexágono = 6 · l2 · √3
4
Ahexágono = 3 · l2 · √3
2
Ahexágono = 3 · l2·√3
Depois de assistir o vídeo , leia as explicações e responda as atividades: 2
Qual o número de diagonais de um polígono com 15 lados.
Em um polígono o número de diagonais é igual ao quádruplo do número de lados. Quantos lados e diagonais possui o polígono?
Quantos lados possui o polígono onde o número de lados corresponde a sexta parte do número de diagonais?
(UFRGS–RS)
O número de diagonais de um polígono é o dobro de seu número n de lados. O valor de n é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
(F. Ruy Barbosa–BA)
Sendo o número de diagonais de um octógono o quíntuplo do número de lados de um polígono, conclui-se que esse polígono é um:
a) triângulo
b) quadrilátero
c) pentágono
d) hexágono
e) heptágono
Boa Tarde !!
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